INTUITIONISTEN EN FORMALISTEN

De schok die door de paradoxen van de verzamelingenleer wordt veroorzaakt, heeft tot een grote verscheidenheid aan reacties geleid. Sommige wiskundigen waren zeer vastberaden en waren van mening dat wiskunde zich vanaf het allereerste begin in de verkeerde richting ontwikkelde en op een heel andere basis moest berusten. Het is niet mogelijk om het standpunt van dergelijke ‘intuïtionisten’ (zoals ze zichzelf begonnen te noemen) met enige zekerheid te beschrijven, aangezien ze weigerden hun opvattingen terug te brengen tot een puur logisch schema. Vanuit het standpunt van intuïtionisten is het verkeerd om logische processen toe te passen op intuïtief niet representatieve objecten. De enige intuïtief duidelijke objecten zijn natuurlijke getallen 1, 2, 3, … en eindige sets van natuurlijke getallen, “geconstrueerd” volgens nauwkeurig gespecificeerde regels. Maar zelfs op dergelijke objecten lieten intuïtionisten niet toe dat alle conclusies van de klassieke logica werden toegepast. Ze erkenden bijvoorbeeld niet dat P of niet-P waar is voor enige uitspraak P. Met zulke beperkte middelen omzeilden ze gemakkelijk ‘paradoxen’, maar tegelijkertijd gooiden ze niet alleen alle moderne wiskunde overboord, maar ook een aanzienlijk deel van de resultaten van de klassieke wiskunde, en voor degenen die nog over waren, was het nodig om nieuwe, meer complexe bewijzen te vinden.

De overgrote meerderheid van de moderne wiskundigen was het niet eens met de argumenten van de intuïtionisten. Niet-intuïtieve wiskundigen hebben gemerkt dat de argumenten die in paradoxen worden gebruikt aanzienlijk verschillen van die in gewoon wiskundig werk met verzamelingenleer, en daarom moeten dergelijke argumenten als onwettig worden uitgesloten zonder de bestaande wiskundige theorieën in gevaar te brengen. Een andere observatie was dat in de ‘naïeve’ verzamelingenleer die bestond vóór het verschijnen van ‘paradoxen’, de betekenis van de termen ‘verzameling’, ‘eigenschap’, ‘relatie’ niet in twijfel werd getrokken – net zoals in de klassieke meetkunde de ‘intuïtieve’ de aard van de gebruikelijke geometrische concepten. Bijgevolg kan men op dezelfde manier handelen als in de meetkunde, namelijk alle pogingen om een ​​beroep te doen op ‘intuïtie’ negeren en een systeem van nauwkeurig geformuleerde axioma’s als uitgangspunt van de verzamelingenleer nemen. Het is echter niet duidelijk hoe woorden als “eigendom” of “relatie” hun gebruikelijke betekenis kunnen verliezen; Dit moet echter worden gedaan als we redeneringen zoals de Berry-paradox willen uitsluiten. De methode bestaat erin om bij het formuleren van axioma’s of stellingen geen gewone taal te gebruiken; alleen zinnen die zijn opgebouwd volgens een expliciet systeem van rigide regels zijn toegestaan ​​als “eigenschappen” of “relaties” in de wiskunde en worden meegenomen in de formulering van axioma’s. Dit proces wordt ‘formalisering’ van de wiskundige taal genoemd (om misverstanden te voorkomen die voortkomen uit de ambiguïteiten van de gewone taal, wordt aanbevolen om nog een stap te zetten en de woorden zelf te vervangen door speciale tekens in geformaliseerde zinnen, vervang bijvoorbeeld ‘en’ door het symbool &, de ‘of’ symbool b, “bestaat” – symbool $, etc.). De wiskundigen die de door de intuïtionisten voorgestelde methoden verwierpen, werden “formalisten” genoemd.

De oorspronkelijke vraag is echter nooit beantwoord. Is “axiomatische verzamelingenleer” vrij van tegenstrijdigheden? Nieuwe pogingen om de consistentie van “geformaliseerde” theorieën te bewijzen, werden in de jaren 1920 ondernomen door D. Hilbert (1862–1943) en zijn school en werden “metamathematica” genoemd. Metamathematica is in wezen een sectie van “toegepaste wiskunde” waar de objecten waarop wiskundig redeneren wordt toegepast de voorstellen zijn van een geformaliseerde theorie en hun locatie binnen bewijzen. Deze zinnen mogen alleen worden beschouwd als materiële combinaties van symbolen, geproduceerd volgens bepaalde vastgestelde regels, zonder enige verwijzing naar de mogelijke “betekenis” van deze symbolen (indien aanwezig). Een goede analogie is het schaakspel: symbolen komen overeen met stukken, zinnen komen overeen met verschillende posities op het bord en gevolgtrekkingen komen overeen met de bewegingsregels van stukken. Om de consistentie van een geformaliseerde theorie vast te stellen, is het voldoende om aan te tonen dat in deze theorie geen bewijs eindigt met bewering 0 # 0. Men kan echter bezwaar maken tegen het gebruik van wiskundige argumenten in een ‘metamathematisch’ bewijs van de consistentie van een wiskundige theorie; als wiskunde tegenstrijdig was, zouden wiskundige argumenten alle macht verliezen en zouden we in een vicieuze cirkel terechtkomen. Om deze bezwaren te beantwoorden, stond Hilbert een zeer beperkte wiskundige redenering toe van het type dat intuïtionisten acceptabel zouden achten voor gebruik in metamathematica. Al snel toonde K. Gödel echter (1931) aan dat de consistentie van rekenkunde niet kan worden bewezen met zulke beperkte middelen als het echt consistent is (de strekking van dit artikel laat ons niet toe om de ingenieuze methode te schetsen waarmee dit opmerkelijke resultaat werd verkregen, en de verdere geschiedenis van metamathematica).

rubiks kubus kopen